FUVEST - Matemática - Razões, proporções, porcentagens

1) Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda per capita desse país. Suponha que a população de um país cresça à taxa constante de 2% ao ano.

Para que sua renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer anualmente aproximadamente,

(Dado: 1,035 = ²⁰√2)

a) 4,2%
b) 5,6%
c) 6,4%
d) 7,5%
e) 8,9%

Resolução:

1) Introdução à fórmula a ser usada

 A fórmula que é comumente usada para calcular juros compostos é:

 Vf = Vi (1+t)ⁿ

 onde Vf = valor final, Vi = valor inicial , t é a taxa de juros por período n.

 Se por exemplo uma pessoa empresta 1000 reais, a uma taxa de 500% ao ano, por 6 anos, o valor final seria:

 Vf = 1000 (1+5)⁶ = 1000* 46656 = 46.656.000

 

 2) Aplicação da fórmula para população e PIB

 A população e o PIB crescen também de maneira “composta”, ou seja, os 2% de crescimento do segundo ano serão encima do valor inicial já acrescido de 2% (após 1 ano) e assim por diante...

 Portanto:

 PIBf = PIBi (1+t)²⁰

POPf=POPi (1+0,02)²⁰

 onde POPf and PIBf são a população final (após 20 anos) e o PIB final respectivamente e POPi e PIBi os valores iniciais.

 A renda per capita é o PIB/POP. Para que ela dobre após 20 anos temos que ter:

 2 (PIBi / POPi) = PIBf/ POPf

 Substituindo nas fórmulas e dividindo a equação I pela II:

 2 (PIBi / POPi) = (PIBi / POPi) (1+t)²⁰ / (1+0,02)²⁰

 Cancelando-se os termos que se repetem:

  (1+t)²⁰ = 2* (1+0,02)²⁰

  Tirando a raíz vigésima dos dois lados:

 1+t = ²⁰√2 (1+0,02)

 1+t = 1,035 (1+0,02)

 1+t = 1,035 + 0,0207

 t = 0,0557

 

Resposta: Alternativa b) 5,6%