Revisão ENEM > Matemática > Probabilidades no jogo de poker
Calcularemos as probabilidades para cada “mão” do poker , por exemplo quadra ou 2 pares, considerando-se um início de jogo recebendo 5 cartas. Ou seja, não incluímos trocas de cartas nem nada mais que possa ocorrer depois que as 5 cartas iniciais são recebidas.
Os cálculos incluem combinações e probabilidades, como foi feito no caso da Mega Sena. Aqui usaremos um baralho de 52 cartas:
♥ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♦ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♣ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
♠ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K A
Primeiramente usamos nossa calculadora de combinações para saber quantas mãos diferentes podem haver, em um baralho de 52 cartas (observe que trata-se de um cálculo de combinações - e não de arranjos - porque não interessa a ordem em que as 5 cartas são recebidas). Calculamos C52,5 e o resultado é 2598960. Teremos mais cálculos de combinações abaixo, para cada um dos jogos , e todos podem ser feitos usando essa nossa calculadora.
Royal Straight Flush
Vamos começar calculando a probabilidade do jogo mais difícil que é o Royal Straight Flush, que seria , por exemplo:
Royal Straight Flush - crédito da imagem: Wikipedia
Esta é uma sequência de cartas todas do mesmo naipe, indo do 10 até o A.
Só é possível uma sequência destas para cada naipe, portanto em todo o baralho (com 4 naipes) são possíveis 4.
Como o total de mãos diferentes no baralho é 2598960 (calculado acima) , a probabilidade que ocorra algum destes 4 possíveis eventos é:
4 / 2598960 = 0,00000153907
Multiplicando este número por 100 obtemos a porcentagem: 0.000153907%
Conclusão: a probabilidade de se fazer um Royal Straight Flush ao receber 5 cartas de um baralho de 52 cartas (bem embaralhado) é de 0,000153907%.
Como você pode concluir, esta possibilidade é bem remota. Por isso essa é a mão mais poderosa: ganha de todas as outras. Quanto menos provável a mão, mais ganhos!
Se dividirmos 1 pela probabilidade, ou seja 1 / 0,00000153907, obtemos 649743. Este é o número de mãos que devemos jogar para receber um Royal Straight Flush!
Perceba que este é um resultado probabilístico. Uma pessoa de sorte pode receber esta mão na primeira jogada. Mas se for jogado milhares ou milhões de vezes, a probabilidade observada será esta calculada.
Pense no dado. A probabilidade de se obter um 6 (ou qualquer outro número) é 1 em 6 . Mas nada impede que uma pessoa obtenha o 6 na primeira (ou segunda) jogada.
Agora usaremos este mesmo método para calcular as demais probabilidades.
Straight Flush
Este é uma sequência de cartas do mesmo naipe, que não termina no A. Pode ser por exemplo:
Straight Flush - crédito da imagem: Wikipedia
O A vale como a última carta no Royal Straight Flush, depois do K, mas no Straight Flush o A pode ser usado com o número 1.
Deste modo existem 8 sequências possíveis para cada naipe (excluindo-se aquela que começa no 10 e corresponde ao Royal Straight Flush), e 32 em total. Já podemos ver que a probabilidade de se obter o Straight Flush é 8 vezes maior que a de se obter o Royal Straight Flush.
Então a probabilidade do Straight Flush é 32 / 2598960 = 0,00001231261.
Four (Quadra)
Este jogo consiste de 4 cartas de mesmo número, uma de cada naipe:
Quadra - crédito da imagem: Wikipedia
Como temos 13 cartas diferentes, existem 13 quadras diferentes. Mas o número de mãos diferentes é maior, porque teremos uma quinta carta também. Esta poderá ser qualquer das 48 que sobraram no baralho, e portanto o número total de possíveis mãos é 13 * 48 = 624.
A probabilidade será 624 / 2598960 = 0,00024 OU 0.024%
Full House
Este jogo consiste de uma trinca e um par.
Full house - crédito da imagem: Wikipedia
Há 13 cartas de cada naipe e 4 naipes. Portanto 4 cartas de mesmo número (número inclui J,Q,K,A) para formar a trinca. Então, para cada número, há C4,3 = 4 trincas diferentes. Como temos 13 números, o número total de trincas possíveis é 4*13 = 52.
Restam 12 cartas de cada naipe para formar o par. Para cada número há C4,2 = 6 maneiras de formar pares diferentes. Como há 12 números disponíveis, o total de pares diferentes é 6*12.
Portanto o número total de full house´s possível é o número de trincas diferentes multiplicado pelo número de pares diferentes : 13*4*12*6=3744 e a probabilidade de se obter um full house é portanto 3744 / 2598960 = 0,00144 ou 0,144%.
Flush
Este jogo consiste de 5 cartas do mesmo naipe:
Flush - crédito da imagem: Wikipedia
Claro que é mais fácil que o Straight Flush ou Royal Straight Flush que precisam ter cartas ordenadas. Teremos 5 cartas dentre as 13 disponíveis em cada naipe, portanto o número possível de combinações é C13,5 = 1287. Como mencionei acima, devemos descontar as mãos com cartas ordenadas (10 em total) e portanto o número de combinações com cartas desordenadas é 1277, para cada naipe. Então o total de combinações é 1277 * 4 = 5108.
A probabilidade de se obter o flush será 5108 / 2598960 = 0,00196 ou 0,19%
Straight (seguida ou sequência)
Este jogo é similar ao straight flush ou royal straight flush, mas sem a necessidade de todas as cartas serem do mesmo naipe:
Straight - crédito da imagem: Wikipedia
Eu agrupo todos os casos aqui nesta seção mas é possível discriminar a seguida máxima (aquela que termina no A) das outras que seriam classificadas como seguidas mínimas.
As sequências podem começar no A (que nesse caso vale 1), ou no 2, 3…até o 10. Portanto há 10 possibilidades para cada naipe, e então 40 em total para a primeira carta da sequência. As outras 4 cartas restantes podem ser de qualquer dos 4 naipes e portanto há 4*4*4*4 combinações delas. Dessa forma o número total de combinações é 40*4*4*4*4 = 10240. Finalmente devemos excluir as combinações que correspondem ao straight ou royal straight flush, que são 40. Portanto o total é 10200.
A probabilidade então é 10200 / 2598960 = 0,00392 ou 0,39%
Trinca
Trinca - crédito da imagem: Wikipedia
Conforme calculado acima em full house, o número de trincas diferentes é 13*4 = 52.
O número de possibilidades para as 2 cartas restantes é C48,2 = 1128. Destas devemos subtrair o número de pares, que conforme calculado em full house é 72, resultando em 1128-72 = 1056.
Portanto o número de possíveis mãos contendo uma trinca é 52* 1056 = 54912 e a probabilidade de uma destas é:
54912 / 2598960 = 0,0211 ou 2,11%.
2 pares
2 pares - crédito da imagem: Wikipedia
Deixarei para você calcular o caso de 2 pares.
Apenas adianto o resultado que é 0,04754 ou 4,754%.
índice de análise combinatória>>
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