Revisão ENEM > Matemática > Análise combinatória >>Mega Sena: Um estudo de Probabilidades e Análise Combinatória
Cálculo de probabilidades
Quando se joga um dado há 6 resultados possíveis, que são os números de 1 a 6. Portanto a probabilidade de se obter um certo número (não importa qual) é uma em seis (1/6).
Quando se joga uma moeda há 2 resultados possíves: cara e coroa. A probabilidade de se obter um destes é uma em duas (1/2), ou 50%.
A roleta do cassino tem 37 números (inlcuindo o zero) então a probabilidade de acertar o número é de 1/37. Se você joga par/ímpar ou vermelho/preto a probabilidade é 50%.
Quando se joga na Mega-sena, quantos são os resultados possíveis? Este é um cálculo um pouco mais complicado mas a análise combinatória nos ajuda. Ela nos permite quantas combinações de 6 números podem ser feitas usando-se 60 números. Você pode usar a calculadora abaixo para calcular este e outros casos hipotéticos (a calculadora de combinações apresentada abaixo aplica a fórmula de combinações - mostrada aqui).
Para se calcular C60,6 , ou seja combinações de 60 elementos em agrupamentos de 6 elementos, se insere n=60 e p = 6 na calculadora de combinações (abaixo).
---------Calculadora de Combinação Cn,p--------
n p---------Resultado-----------
O resultado é 50.063.860. Sim, existem mais de 50 milhões de maneiras de escolher 6 números distintos entre 60 opções. Portanto a probabilidade de acertar a Mega Sena, com um jogo simples de 6 números, é 1 / 50.063.860 , ou seja, menos de uma em 50 milhões...
Outros exemplos de combinações
Antes de analisar outros resultados, para apostas com mais de seis números, vamos analisar outras aplicações desta calculadora para ilustrar a ideia.
Pergunta: Se dispomos de 15 jogadores para formar um time de basquete (com 5 jogadores), quantos times diferentes podem ser formados?
Resposta: Basta calcular combinações de 10 em 5. Usando nossa calculadora com n=10 e p=5 obtemos 3003 .
Se fossemos fazer times de futebol (com 11 jogadores), teríamos que calcular com n=15 e p=11. O resultado é: 1365.
Perceba que estamos assumindo que todos os jogadores jogam em todas as posições.
Probabilidade de acerto na Mega-Sena jogando-se mais de 6 números
Vamos agora analisar outras probabilidades envolvidas neste jogo. Por exemplo, qual a probabilidade de acerto jogando 10 números? Estas podem ser facilmente calculadas usando-se novamente a calculadora de combinações (acima). Analisaremos também a tabela que encontra-se no site da Mega Sena.
Apostas com mais de 6 números podem ser feitas a um custo mais alto (veja abaixo a análise destes custos).
Aposta de 7 números- Uma aposta de 7 números vale por quantas apostas de 6 números? A resposta é C7,6= 7 (este cálculo refere-se a quantas combinações diferentes de 6 números podem ser feitas usando 7 números).
Portanto a probabilidade de acerto será 7 vezes maior do que no caso de uma aposta de 6 números. Da mesma forma calcula-se para qualquer tipo de aposta.
Aposta de 8 números- C8,6= 28 . Probabilidade 28 vezes maior.
Aposta de 9 números-C9,6= 84. Probabilidade 84 vezes maior.
Aposta de 10 números- C10,6=210. Probabilidade 210 vezes maior.
Aposta de 15 números - C15,6= 5005. Probabilidade 5005 vezes maior.
E assim por diante... até:
Aposta de 20 números - C20,6= 38760. Probabilidade 38760 vezes maior.
Embora não se possa ultrapassar estes máximo de 20 números na aposta, pode-se fazer qualquer número de apostas de 6 números. Portanto se alguém quisesse fazer uma aposta de 30 números, poderia invés disso fazer C30,6= 593775 apostas de 6 números que seria a mesma coisa (em termos probabilísticos).
CUSTOS DE APOSTAS com mais de 6 números
Apostas de mais de 6 números custam o mesmo que o total das apostas de seis números equivalentes.
Por exemplo, uma aposta de 7 números vale por 7 apostas de 6 números. O preço da aposta de 6 números é 4,50. Portanto a aposta de 7 números custa 7*4,50 = 31,50 reais.
Ou seja, não existe desconto por estar jogando mais apostas. O mesmo aplica-se até a aposta mais cara, 20 números , que é 38760*4,50 = 174420 reais.
Com base nestes cálculos, será que vale a pena fazer um bolão?
Probabilidade de acerto de quinas e quadras
Quinas
O número de combinações possíveis de 6 números é dado por C60,6= 50.063.860
Agora temos que considerar quantos jogos diferentes , possuindo os cinco números da quina, podem haver em uma aposta de seis números. Para isto temos que computar 2 quantidades:
1)As diferentes combinações de 5 números formadas a partir dos 6 números sorteados é dada por C6,5 = 6
2) Cada uma destas 6 combinações de cinco números receberá um sexto número que não é um dos números sorteados e portanto poderá ser qualquer dos 54 números restantes. Dessa forma o número de cominações diferentes será C54,1 = 54
Conclusão, a probabilidade de quina será dada por (6 * 54)/ 50.063.860 = 1/154518
Quadras
De maneira análoga pode-se calcular a probabilidade de acerto da quadra.
O número de combinações possíveis é dado por C60,4 = 487635.
C6,4 = 15 e C54,2 = 1431
Conclusão, a probabilidade de quadra será dada por (15 * 1431)/ 50.063.860 = 1/2332
índice de análise combinatória>>
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