Matemática - Regra de 3 - Um tópico especial - Parte 3 - regra de 3 composta

Parte 1 - variáveis diretamente proporcionais

Parte 2 - variáveis inversamente proporcionais

Neste caso existem mais frações no cálculo (3 ou mais).

(Enem 2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m³. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.

A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a:

A) 2
B) 4
C) 5
D) 8
E) 9

Resolução:

Primeiro desenhamos a tabela como nos casos mais simples (mas com uma coluna a mais porque aqui é regra composta):

capacidade	ralos	tempo
900	6	6
500	x	4

Agora isolamos a fração que tem o x e escrevemos as outras do outro lado. Se as variáveis à direita são diretamente proporcionais às que envolvem o x (nesse caso o número de ralos) elas ficam como estão; se são inversamente proporcionais são invertidas (como já vimos antes na Parte 2).

A capacidade do reservatório é diretamente proporcional, porque quanto mais ralos, mais água pode ser escoada (num mesmo intervalo de tempo).

A variável tempo é inversamente proporcional ao número de ralos, porque quanto mais ralos, menos tempo é necessário para escoar um certo volume de água. A fração correspondente à variável tempo será portanto invertida:

$$\begin{aligned} \mathrm{\frac {6}{x} = \frac {900}{500} \cdot \frac {4}{6}} \end{aligned}$$

x = 5, alternativa c)

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(Enem 2020)Um agricultor sabe que a colheita da safra de soja será concluída em 120 dias caso utilize, durante 10 horas por dia, 20 máquinas de um modelo antigo, que colhem 2 hectares por hora. Com o objetivo de diminuir o tempo de colheita, esse agricultor optou por utilizar máquinas de um novo modelo, que operam 12 horas por dia e colhem 4 hectares por hora. Quantas máquinas do novo modelo ele necessita adquirir para que consiga efetuar a colheita da safra em 100 dias?

(A) 7

(B) 10

(C) 15

(D) 40

(E) 58

Resolução:

Nesse exmplo há 4 colunas na tabela, e portanto 4 frações:

dias	horas por dia	máquinas	hectares por hora
120	10	20	2
100	12	x	4

 

Como no exemplo acima colocamos a fração com o x do lado esquerdo e as outros do lado direito da equação.

O número de dias é inversamente proporcional ao número de máquinas , porque com mais máquinas se usam menos dias para completar um certo serviço.

O número de horas por dia também é inversamente proporcional. assim como os hectares por hora, porque com mais máquinas pode-se trabalhar menos horas por dia e menos hectares por hora, para completar o mesmo serviço. Então é tudo inversamente proporcional e portanto todas as frações são invertidas:

$$\begin{aligned} \mathrm{\frac {20}{x} = \frac {100}{120} \cdot \frac {12}{10} \cdot \frac {4}{2}} \end{aligned}$$

x = 10 , alternativa b)